Примеры поперечных. Примеры продольных и поперечных волн

Рассмотрим подробнее процесс образования поперечных волн. Возьмем в качестве модели реального шнура цепочку шариков (материальных точек), связанных друг с другом упругими силами (рис. 2, а). На рисунке 2 изображен процесс распространения поперечной волны и показаны положения шариков через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.

В начальный момент времени все точки находятся в состоянии равновесия (рис. 2, а). Затем вызываем возмущение, отклонив точку 1 от положения равновесия на величину А и 1-я точка начинает колебаться, 2-я точка, упруго связанная с 1-й, приходит в колебательное движение несколько позже, 3-я - еще позже и т.д. Через четверть периода колебания распространятся до 4-й точки, 1-я точка успеет отклониться от своего положения равновесия на максимальное расстояние, равное амплитуде колебаний А (рис. 2, б). Через полпериода 1-я точка, двигаясь вниз, возвратится в положение равновесия, 4-я отклонилась от положения равновесия на расстояние, равное амплитуде колебаний А (рис. 2, в), волна распространилась до 7-й точки и т.д.

К моменту времени 1-я точка, совершив полное колебание, проходит через положение равновесия, а колебательное движение распространится до 13-й точки (рис. 2, д). Все точки от 1-й до 13-й расположены так, что образуют полную волну, состоящую из впадины и горба .

Волна называется продольной , если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны (рис. 3).

Продольную волну можно наблюдать на длинной мягкой пружине большого диаметра. Ударив по одному из концов пружины, можно заметить, как по пружине будут распространяться последовательные сгущения и разрежения ее витков, бегущие друг за другом. На рисунке 4 точками показано положение витков пружины в состоянии покоя, а затем положения витков пружины через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.

Таким образом, продольная волна в рассматриваемом случае представляет собой чередующиеся сгущения () и разрежения () витков пружины.

Вид волны зависит от вида деформации среды. Продольные волны обусловлены деформацией сжатия - растяжения, поперечные волны - деформацией сдвига. Поэтому в газах и жидкостях, в которых упругие силы возникают только при сжатии, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах упругие силы возникают и при стажии (растяжении) и при сдвиге, поэтому в них возможно распространение как продольных, так и поперечных волн.

Как показывают рисунки 2 и 4, и в поперечной и в продольной волнах каждая точка среды колеблется около своего положения равновесия и смещается от него не более чем на амплитуду, а состояние дефомации среды передается от одной точки среды к другой. Важное отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц заключается в том, что распространение волн не связано с переносом вещества среды.

Следовательно, при распространении волн происходит перенос энергии упругой деформации и импульса без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц и из потенциальной энергии упругой деформации среды.

Рассмотрим, например, продольную волну в упругой пружине. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по пружине неравномерно, так как одни витки пружины в этот момент покоятся, а другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы пружины не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны вводят такую характеристику, как плотность кинетической и потенциальной энергий ( - энергия, приходящаяся на единицу объема). Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически изменяется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной.

Любой источник волн обладает энергией W, которую волна при своем распространении передает частицам среды.

Интенсивность волны I показывает, какую энергию в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны

В СИ единицей интенсивности волны является ватт на квадратный метр

Энергия и интенсивность волны прямо пропорциональны квадрату ее амплитуды .

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде наз. волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу. Если же они колеблются вдоль луча, то волна называется продольной .

Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема , т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.

Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля.

УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. х = Аsin t.

Тогда все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.

График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени, график волны – смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже t сек., то частица С колеблется еще только (t – )cек., где  - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для С будет

Х = Аsin(t – ) , но  =y/V ,

где V -cкорость распространения волны.

Тогда Х = Аsin(t – y/V ) – уравнение волны (1)

Учитывая, что длина волны  V T = V /, откуда V = /T,  = 2/T =2 получим

Х = Аsin2(t/T – y/) = Asin2(t –y/) = Asin(t -2y/),

где к = 2/ -волновое число. Если поменять оси координат, то

y(x,t) = Asin(t  kx). Знак (+) указывает противоположное направление распространения.

Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны .

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться  .

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источников колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t , наз. фронтом волны.

Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, наз. волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать используя принцип Гюйгенса , сущность которого в следующем:

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 2.

Требуется найти его положение через промежуток времени t. Согласно Гюйгенсу, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

y = V t, где V – скорость волны.

Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V , а следовательно и y неодинаковы в различных направлениях.

Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Интенсивностью волны или плотностью потока энергии наз. отношение энергии, переносимой волною сквозь площадь, перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса и размеру площади.

Получим выражение для интенсивности волны.

Пусть в 1 см 3 среды содержится n 0 частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна

Е = n 0 m 2 A 2 /2 =  2 A 2 /2, где  =n 0 m.

Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см 2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см 2 и высотой, равной V , следовательно интенсивность

I =EV = V  2 A 2 /2.

Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны.

Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях с одинаковой амплитудой. В этом случае результирующее смещение определяется формулой

Y(x,t) = Asin(t – kx) + Asin(t + kx) = 2Asin t coskx = B(x) sint.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной.

Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:

В(х) = 2А cos kx = 2Acos2x/.

В тех точках, где 2x/ = n (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.

Координата пучности равна х n = n/2. В точках, где 2х/ = (n+1/2), амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны . Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны

X y = (n  ½)/2.

Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно /2.

ЗВУК.

Воспринимаемый человеком звук также представляет собой волновое движение, которое возникает в окружающей нас среде. Источником звука всегда служит какое – либо колеблющееся тело. Это тело приводит в движение окружающий воздух, в котором начинают распространяться продольные упругие волны . Когда эти волны достигают уха, они заставляют колебаться барабанную перепонку, и мы ощущаем звук. Механические волны, действие которых на ухо вызывает ощущение звука, называются звуковыми. Человек воспринимает f =20–16000Гц. f < 20 Гц – инфразвук , f > 16кГц – ультразвук.

(Горы, лавины, сели! Инфразвук  страх).

Упругие волны могут распространяться только в среде, где существует связь между отдельными частицами этой среды, поэтому в вакууме звук распространяться не может. В воздухе V =330 м/с.

Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется

порогом слышимости . Он бывает различен для разных людей и сильно зависит от f. Человеческое ухо наиболее чувствительно к f = 1000 – 4000 Гц. В этой области частот I 0 = 10 -16 Вт.

Звук очень большой интенсивности тоже не вызывает слухового ощущения, а создает лишь ощущение боли и давления в ухе. Минимальное значение интенсивности звука, превышение корого вызывает болевое ощущение, наз. болевым порогом . Значения различных порогов различны для различных частот, рис.1.

Болевой порог

Область слышимости

Рис.1. Порог слышимости

Первое различимое качество звука – это громкость . Изменение громкости звука вызывается изменением амплитуды колебаний. Происходит это потому, что энергия, переносимая волной, пропорциональна квадрату амплитуды (Е ~ А 2).

Вторым качеством звука является высота его тона. Звук, соответствующий строго определенной частоте колебаний, наз. тоном. Чем больше частота звука, тем более высоким является тон. Получить звуки различных тонов можно с помощью камертона.

Третьим качеством звука является его тембр. В жизни мы часто узнаем знакомого человека по голосу, еще не видя его. Мы легко отличаем звуки скрипки от звуков рояля, хотя они могут быть одного тона. Качество звука, позволяющее определить источник его образовавния, наз. тембром. Тембр различных источников звука не одинаков. Объясняется это образованием дополнительных стоячих волн в самом источнике звука, которые дают дополнительные тона. Дополнительные тона источника звука, более высокие, чем основной тон, называются высшими гармоническими тонами или обертонами.

Каждый источник звука имеет определенное число обертонов. Они и придают звуку свой характерный оттенок – тембр.

Шум отличается от музыкального звука лишь тем, что в нем присутствуют колебания всевозможных частот с разными амплитудами.

На границе раздела двух сред звуковые волны претерпевают частичное или полное отражение. Возвращение звуковой волны после отражения наз.эхом. Явление отражения звуковых волн широко используется в акустике. Сравнительно слабое затухание ультразвуковых волн в воде позволило использовать их в целях гидролокации – обнаружении предметов и определении расстояний от источника звука до предметов. Гидролокатор (эхолот) – измеряет глубину и рельеф морского дна, расстояние до айсберга, косяков рыбы и т.д. Примеры: pобототехника, УЗИ.

t = 2l /V, откуда l = tV/2. l

импульсный

источник ультразвука

Если колебательное движение возбуждают в какой - либо точке среды, то оно распространяется от одной точки к другой в результате взаимодействия частиц вещества. Процесс распространения колебаний называют волной.

Рассматривая механические волны, мы не будем обращать внимание на внутреннее строение среды. Вещество при этом считаем сплошной средой, которая изменяется от одной точки к другой.

Частицей (материальной точкой), будем называть маленький элемент объема среды, размеры которого, много больше, чем расстояния между молекулами.

Механические волны распространяются только в средах, которые обладают свойствами упругости. Силы упругости в таких веществах при небольших деформациях пропорциональны величине деформации.

Основным свойством волнового процесса является то, что волна, перенося энергию и колебательное движение, не переносит массу.

Волны бывают продольные и поперечные.

Продольные волны

Волну называю продольной, в том случае, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны.

Продольные волны распространяются в веществе, в котором возникают силы упругости, при деформации растяжения и сжатия в веществе в любом агрегатном состоянии.

При распространении продольной волны в среде возникают чередования сгущений и разрежений частиц, перемещающихся в направлении распространения волны со скоростью ${\rm v}$. Сдвиг частиц в этой волне происходит по линии, которая соединяет их центры, то есть вызывает изменение объема. Все время существования волны, элементы среды выполняют колебания у своих положений равновесия, при этом разные частицы совершают колебания со сдвигом по фазе. В твердых телах скорость распространения продольных волн больше, чем скорость поперечных волн.

Волны в жидкостях и газах всегда продольные. В твердом теле тип волны зависит от способа ее возбуждения. Волны на свободной поверхности жидкости являются смешанными, они одновременно и продольные и поперечные. Траекторией движения частицы воды на поверхности при волновом процессе является эллипс или еще более сложная фигура.

Акустические волны (пример продольных волн)

Звуковые (или акустические) волны, являются продольными волнам. Звуковые волны в жидкостях и газах представляют собой колебания давления, распространяющиеся в среде. Продольные волны, имеющие частоты от 17 до 20~000 Гц называют звуковыми.

Акустические колебания с частотой ниже границы слышимости называют инфразвуком. Акустические колебания с частотой выше 20~000 Гц называют ультразвуком.

Акустические волны в вакууме распространяться не могут, так как упругие волны способны распространяться только в той среде, где имеется связь между отдельными частицами вещества. Скорость звука в воздухе равна в среднем 330 м/с.

Распространение в упругой среде продольных звуковых волн связано с объемной деформацией. В этом процессе давление в каждой точке среды непрерывно изменяется. Это давление равно суме равновесного давления среды и добавочного давления (звуковое давление), которое появляется в результате деформации среды.

Сжатие и растяжение пружины (пример продольных волн)

Допустим, что упругая пружина подвешена горизонтально на нитях. По одному концу пружины ударяют так, что сила деформации направлена вдоль оси пружины. От удара происходит сближение нескольких витков пружины, возникает сила упругости. Под воздействием силы упругости витки расходятся. Двигаясь по инерции, витки пружины проходят положение равновесия, образуется разрежение. Некоторое время витки пружины на конце в месте удара будут колебаться около своего положения равновесия. Данные колебания с течением времени передаются от витка к витку по всей пружине. В результате происходит распространение сгущения и разрежения витков, распространяется продольная упругая волна.

Аналогично продольная волна распространяется по металлическому стержню, если ударить по его концу с силой, направленное вдоль его оси.

Поперечные волны

Волну называют поперечной волной, если колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.

Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Поперечные механические волны возникают в твердых телах.

Волна, распространяющаяся по струне (пример поперечной волны)

Пусть одномерная поперечная волна распространяется по оси X , от источника волны, находящегося в начале координат - точке О. Примером такой волны является, волна, которая распространяется в упругой бесконечной струне, один из концов которой заставляют совершать колебательные движения. Уравнение такой одномерной волны:

\\ }\left(1\right),\]

\

$k$ -волновое число$;;\ \lambda $ - длина волны; $v$ - фазовая скорость волны; $A$ - амплитуда; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза; величина $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ называется фазой волны в произвольной точке.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Какова длина поперечной волны, если она распространяется по упругой струне со скоростью $v=10\ \frac{м}{с}$, при этом период колебаний струны составляет $T=1\ c$?

Решение. Сделаем рисунок.

Длина волны - это расстояние, которое волна проходит за один период (рис.1), следовательно, ее можно найти по формуле:

\[\lambda =Tv\ \left(1.1\right).\]

Вычислим длину волны:

\[\lambda =10\cdot 1=10\ (м)\]

Ответ. $\lambda =10$ м

Пример 2

Задание. Звуковые колебания с частотой $\nu $ и амплитудой $A$ распространяются в упругой среде. Какова максимальная скорость движения частиц среды?

Решение. Запишем уравнение одномерной волны:

\\ }\left(2.1\right),\]

Скорость движения частиц среды равна:

\[\frac{ds}{dt}=-A\omega {\sin \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\ \left(2.2\right).\]

Максимальное значение выражения (2.2), учитывая область значений функции синус:

\[{\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=\left|A\omega \right|\left(2.3\right).\]

Циклическую частоту найдем как:

\[\omega =2\pi \nu \ \left(2.4\right).\]

Окончательно максимальная величина скорости движения частиц среды в нашей продольной (звуковой) волне равна:

\[{\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=2\pi A\nu .\]

Ответ. ${\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=2\pi A\nu$

РЕФЕРАТ

на тему:

"ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ"

учениця 11 класу

Мельник Анжела

ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ

В физике мы имеем дело с волнами различной природы: механическими, электромагнитными и т.д. Несмотря на отличия, эти волны имеют много общих черт. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль оси распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно оси распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то такие волны называются поперечными.

Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими. К ним относятся звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны. На первой анимации изображён процесс распространения продольной упругой волны в решётке, состоящей из шариков, соединённых упругими пружинками. Каждый шарик колеблется по гармоническому закону в продольном направлении, совпадающем с направлением распространения волны. Амплитуда каждого шарика одинакова и равна A, а фаза колебаний линейно растёт с увеличением номера шарика на т.е

x 0 =Asin(t); x 1 =Asin(t+); x 2 =Asin(t+2); x 3 =Asin(t+3); ит.д.

где  -частота волны, t - время, - изменение фазы от шарика к шарику

В поперечной волне колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Как и в случае продольных волн амплитуды колебаний всех шариков одинаковы, а фаза линейно изменяется от шарика к шарику

y 0 =Bsin(t);y 1 =Bsin(t+); y 2 =Bsin(t+2); y 3 =Bsin(t+3);и т.д.

В общем виде уравнение распространения волны может быть записано в виде: z =Acos(tkxгде z - координата, по которой происходит движение частиц, x - координата оси, вдоль которой распространяется волна, k - волновое число, равное / v, v - скорость распространения волны. Зная частоту волны и скорость её распространения, мы можем найти сдвиг фаз между соседними шариками (частицами):  / v)a, где a - расстояние между шариками в решётке.

На следующей анимации изображено наложение продольной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на 90 градусов. В результате каждая масса совершает круговые движения. Уравнение движения каждого шарика может быть описано уравнением:

x=Acos(t+ ); y=Asin(t+ )

У волн, наблюдаемых на поверхности жидкости, так называемых поверхностных волн, взаимосвязь между соседними элементами поверхности жидкости при передаче колебаний осуществляется не силами упругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. Колебания масс в сетке моделируют движение молекул в волне на поверхности жидкости. В случае малой амплитуды волны каждая масса движется по окружности, радиус которой убывает с расстоянием от поверхности. Массы внизу сетки находятся в покое

.

Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Как мы можем видеть на анимации, красный шарик, моделирующий молекулу поверхности жидкости, движется по круговой траектории. Таким образом, волна на поверхности жидкости представляет собой суперпозицию продольного и поперечного движения молекул.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Интерференция двух линейных волн

Рассмотрим волну, возникающую на поверхности жидкости под воздействием колебаний длинного цилиндрического стержня:

где A - амплитуда колебаний цилиндра,  = 2f, f - частота колебаний, t - время.

Если волна распространяется без затухания, то любая точка поверхности жидкости будет колебаться с той же амплитудой, что и стержень, но фаза колебаний будет изменяться пропорционально расстоянию от него:

z =Acos(tkx

где k = / v, v - скорость распространения волны. В общем случае, волна будет затухать из-за внутреннего трения жидкости и амплитуда колебаний A будет уменьшаться с расстоянием.

Далее рассмотрим случай интерференции волн от двух стержней, вибрирующих с одинаковой частотой. Предположим, что расстояние между стержнями - d. Амплитуда колебаний поверхности жидкости в любой точке с координатой x может быть найдена как сумма двух волн:

z = Acos(t - kx) + Acos(t + k(x - d))

Волновое число k входит в вышеуказанную формулу с разными знаками, что соответствует противоположному направлению распространению волн от двух стержней. Эта формула может быть также переписана в виде:

z = 2Acos(t - kd/2)cos(kx - kd/2)

Полученное выражение описывает интерференцию двух линейных волн, распространяющихся в противоположных направлениях (стоячая волна). Мы можем видеть из этого выражения, что существуют точки на поверхности жидкости, где волны интерферируют в противофазе и колебания в этих точках отсутствуют (так называемые узлы), и имеются точки, где волны накладываются, усиливая друг друга, и в этих точках колебания происходят с удвоенной амплитудой 2A (пучности). Узлы возникают в точках, для которых верно равенство cos(kx - kd/2)=0, то есть в точках x= /2 (1/2+n)+d/2, где n - целое число, а  - длина волны. Это означает, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. То же самое утверждение справедливо и для расстояния между максимумами интерференционной картины. Так пучности появляются в точках для которых cos(kx -kd/2) равняется +1 или -1, то есть в точках x= n /2+d/2. Зная частоту колебаний стержней и измеряя расстояние между узлами или пучностями (при помощи, например, микроскопа), мы можем найти скорость распространения волн на поверхности жидкости и затем, зная эти данные, мы можем вычислить многие важные параметры среды, в которой распространяется волна.

Анимация показывает интерференцию двух волн на поверхности жидкости, возбуждаемых вибрирующими стержнями. Волны распространяются в противоположных направлениях и интерферируют с образованием стоячей волны. Красный шарик расположен в пучности стоячей волны и колеблется с максимальной амплитудой. Параллелепипед расположен в узле интерференционной картины и амплитуда его колебаний равна нулю (он совершает лишь вращательные движения, следуя наклону волны).

Круговые волны на поверхности жидкости

Наблюдение волн на поверхности жидкости позволяет изучить и визуально представить многие волновые явления, общие для разных типов волн: интерференцию, дифракцию, отражение волн и т.д. Рассмотрим круговую волну на поверхности жидкости, создаваемую точечным источником, в качестве которого мы возьмём маленький шарик на поверхности жидкости, колеблющейся в вертикальном направлении с малой амплитудой. Так как шарик имеет конечные размеры, то каждая его точка, соприкасающаяся с жидкостью, является, по существу, точечным источником волн, наложение которых и даёт действительную волну. Однако на расстоянии, много большем диаметра шарика, этим можно пренебречь и образующиеся волны рассматривать как круговые, т.е. состоящий из концентрических окружностей. При этом сам шарик принимают за точечный источник волн. Отметим, что плоскую волну всегда можно представить как сферическую, но с бесконечно большим радиусом, т.е. считать центр плоской волны находящимся в бесконечности.

Интерференция волн от двух точечных источников

Рассмотрим теперь два маленьких шарика, колеблющихся на поверхности жидкости. Каждый из шариков возбуждает волну. Налагаясь, эти волны дают интерференционную картину, показанную на анимации. Рассмотрим уравнение, описывающее интерференционную картину.

Если пренебречь затуханием, то волна от каждого шарика может быть записана следующим образом:

s 1 =A 1 cos(t -kr 1); s 2 =A 2 cos(t - kr 2);

где A 1 и A 2 - амплитуды волн, r 1 и r 2 - расстояния соответственно от первого и второго шарика, k=  / v, v - скорость распространения волн.

Так как разность =r 2 -r 1 много меньше, чем каждое из расстояний r 1 и r 2 , мы можем положить A= A 1 = A 2 . В этом приближении наложение волн s 1 и s 2 описывается следующим выражением:

s = s 1 + s 2 = 2Acos[ k(r 2 - r 1)/2 ] cos[t - k(r 1 + r 2)/2 ]

Из этого выражения видно, что в точках, для которых r 2 -r 1 = (1/2+n) , поверхность жидкости не колеблется. Эти узловые точки (линии) отчётливо видны на анимации.

Интерференция круговой волны в жидкостис её отражением от стенки

Рассмотрим точечный источник волн на поверхности жидкости (колеблющийся шарик) и полностью отражающую стенку, установленную в на некотором расстоянии от него. Если расстояние от источника до стенки кратно целому числу полуволн, то исходная круговая волна будет интерферировать с волной, отражённой от стенки, создавая в волновой ванне интерференционную картину, как показано на анимации. Согласно принципу Гюйгенса, отражённая волна совпадает с той, которая бы возбуждалась фиктивным точечным источником, расположенным по другую сторону стенки симметрично реальному источнику круговых волн. При этом если расстояние от источника до стенки кратно целому числу полуволн, то справа от источника на оси соединяющей фиктивный и реальный источник разность фаз будет кратна целому числу волн и круговая волна накладывается в фазе с волной, отражённой от стенки, увеличивая высоту гребней в интерференционной картине.

На следующей анимации также изображена картина интерференции круговой волны на поверхности жидкости с её отражением от стенки. В этом случае расстояние между точечным источником и стенкой кратно целому числу полуволн плюс четверть волны (или, иначе говоря, равно нечётному числу четверть волн). При этом справа от источника круговая волна накладывается в противофазе с волной, отражённой от стенки. В результате мы видим, что в широкой полосе справа от источника колебания жидкости отсутствуют.

Дифракция круговой волны на узкой щели

На следующей анимации приведена модель дифракции круговой волны на узкой щели в стенке, установленной в кювете с жидкостью. Слева от стенки мы видим появление отражённой волны, а справа от стенки возникает новая круговая волна с меньшей амплитудой, что соответствует принципу Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу, первоначально введённому голландским учёным Х.Гюйгенсом (Ch.Huygens, 1678), каждый элемент поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных волн, огибающая которых будет волновой поверхностью в следующий момент времени; при этом обратные элементарные волны во внимание не принимаются. Французский физик О.Ж.Френель (A.J.Fresnel, 1815) дополнил принцип Гюйгенса, введя представление о когерентности элементарных волн и интерференции волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса-Френеля многие дифракционные явления. Согласно этому принципу, волновое возмущение за непроницаемой стенкой со щелью, как показано на анимации, можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн, образующихся в пространстве щели. Если щель узкая и удалена на значительное расстояние от источника, то за стенкой будет распространяться круговая волна, центром которой является щель. Так как большая часть волны от источника гасится на стенке, амплитуда прошедшей волны буде много меньше падающей.

ОТРАЖЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН

Волны с большой амплитудой, возникающие при детонации взрывчатых веществ, электрическом искровом разряде, и т.д., и называемые ударными волнами, распространяются по иным законам, чем волны с малыми амплитудами, которые мы рассматривали до сих пор. В ударной волне возникает, образно выражаясь, очень крутая гора с примыкающей к её задней стороне пологой, слегка волнистой долиной. Эти волны с аномально большой амплитудой имеют большую скорость, чем нормальные звуковые волны. Вследствие большой плотности воздуха в гребнях волн их можно фотографировать как теневые картины.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси абсцисс. Уравнение такой волны может быть записано в виде:

E x = 0, E y = E 0 cos(t - kx), E z = 0;

H x = 0, H y = 0, H z = H 0 cos(t - kx);

Здесь k=u - волновое число, u - скорость волны. Рассмотренная волна изображена схематически в виде анимации. Как видно, вдоль оси абсцисс, по которой волна распространяется, не происходит колебаний векторов поля (E x = H x = 0). Это означает, что электромагнитная волна является поперечной. Этим она принципиально отличается от упругих волн, у которых практически всегда имеется продольная составляющая.

Другой принцип распространения электромагнитной волны состоит в том, что вектора напряженности электрического и магнитного поляE иH колеблются в фазе, т.е. они достигают максимума и минимума в одних и тех же точках пространства.

АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Ощущение звука возникает благодаря механическим колебаниям барабанной перепонки уха. Эти колебания возбуждаются акустической волной, распространяющейся от источника звука к уху. Любой колеблющийся предмет может возбуждать акустическую волну, но ухо способно воспринимать лишь колебания в частотном диапазоне 20 Гц - 20кГц. Звуковые волны, лежащие выше этого частотного диапазона (ультразвук) и ниже него (инфразвук) могут регистрироваться лишь специальными приборами. Рассмотрим процесс генерации звука громкоговорителем. Переменный ток, протекая по катушке громкоговорителя, возбуждает колебания диффузора. В результате, воздух, расположенный вблизи диффузора, оказывается попеременно то сжатым, то разреженным. Области с избыточным давлением распространяются в пространстве в виде акустических волн. Когда такая волна достигает уха, она возбуждает колебания барабанной перепонки и мы слышим звук. Так как колебания молекул воздуха происходят в направлении распространения волны, акустическая волна в воздухе представляет собой типичный пример продольной волны.

Если размер источника звука много меньше длины волны, то будет возбуждаться сферическая волна, а источник звука может быть рассмотрен как точечный источник. В ином случае, когда размер источника много больше, чем длина волны, будет возбуждаться плоская звуковая волна. Скорость акустической волны зависит от свойств среды, в которой она распространяется. Формула для скорости звуковых волн была предложена Лапласом (1749-1827):

где  - адиабатическая постоянная, R - универсальная газовая константа, T - температура газа,  - молекулярный вес газа. Эта формула была выведена в предположении, что распространение звука - адиабатический процесс. Из этой формулы следует в частности, что скорость звука в воздухе при температуре T=273 K равняется 330 м/с, что находится в хорошем соответствии с экспериментальными результатами.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начинает колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При распространении колебаний не учитывается дискретное строение среды, и среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими ) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные . В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространению волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. твердых телах. В жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны (l ). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период:

или, учитывая, что , где – частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х , а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т.е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называются волновым фронтом . Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической .